Гипотеза Даффина — Шаффера

Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Р. Даффином и А. Шеффером в 1941 году. [1] Она утверждает, что если — вещественная функция, принимающая положительные значения, то почти для всех (относительно меры Лебега) неравенство

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах () тогда и только тогда, когда

где — функция Эйлера.

Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году. [2] [3] [4]

История

Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. [5] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа или , или . [2] [6] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай . [7] [8] Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат[9], гипотеза верна, если существует число , такое что ряд

.

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в «Annals of Mathematics». [10]

В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера. [11]

Примечания
  1. R. J.; Duffin. Khintchine's problem in metric diophantine approximation (англ.) // Duke Math. J. : journal. — 1941. — Vol. 8, no. 2. — P. 243—255. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00818-9.
  2. Montgomery, Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (англ.). — 1994. — Vol. 84.
  3. A.D.; Pollington. The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture (англ.) // Mathematika : journal. — 1990. — Vol. 37. — P. 190—200. — ISSN 0025-5793. — doi:10.1112/s0025579300012900.
  4. Harman (2002) p. 69
  5. Harman (2002) p. 68
  6. Harman (1998) p. 27
  7. Department of Mathematics. (недоступная ссылка)
  8. Harman (1998) p. 28
  9. A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
  10. Victor; Beresnevich. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2006. — Vol. 164. — P. 971—992. — ISSN 0003-486X. — doi:10.4007/annals.2006.164.971. — arXiv:math/0412141.
  11. D.; Koukoulopoulos. On the Duffin–Schaeffer conjecture (неопр.). — 2019. — arXiv:1907.04593.

Литература
  • Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
  • Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.