Геодезический поток

Геодезическим потоком на многообразии ${\displaystyle M}$ называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор ${\displaystyle v}$ за время ${\displaystyle t}$ сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время ${\displaystyle t}$, оставаясь касательным к этой геодезической.

В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$, а не на самом многообразии ${\displaystyle M}$.

Часто рассматривают геодезический поток на пространстве ${\displaystyle T_{1}M}$ единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).

Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.