Метрика Пуанкаре

Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с комплексной структурой метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой[1]

${\displaystyle ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов.