Гармоническая прогрессия
В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность) — это прогрессия, образованная обратными элементами арифметической прогрессии.

первые десять членов гармонической последовательности .
Эквивалентное определение — это бесконечная последовательность вида
где a не равно нулю и −a/d не натуральное число, или конечная последовательность вида
где a≠0, k — натуральное число −a/d — не натуральное число или больше k.
Примеры
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
- 12, 6, 4, 3, , 2, … , , …
- 30, −30, −10, −6, − , … ,
- 10, 30, −30, −10, −6, − , … ,
Сумма гармонической прогрессии
Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (в смысле бесконечной суммы).
Для гармонической прогрессии невозможно при различных единицах дробей (кроме случаев с a = 1 и k = 0) иметь сумму, равную целому числу. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии будет делиться на натуральное число, на которое не делится любой другой знаменатель.[1]
Примечания
- Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása, Mat. Fiz. Lapok Т. 39: 17–24, <https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf>. Цитата по Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, vol. 25, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6, DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.