Гармоническая прогрессия

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность) — это прогрессия, образованная обратными элементами арифметической прогрессии.

первые десять членов гармонической последовательности

a_{n}={\tfrac {1}{n}}

.

Эквивалентное определение — это бесконечная последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,$

где a не равно нулю и −a/d не натуральное число, или конечная последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},$

где a≠0, k — натуральное число −a/d — не натуральное число или больше k.

Примеры

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3, ${\tfrac {12}{5}}$ , 2, … , ${\tfrac {12}{n}}$ , …
30, −30, −10, −6, − ${\tfrac {30}{7}}$ , … , ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3}}}}$
10, 30, −30, −10, −6, − ${\tfrac {30}{7}}$ , … , ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3}}}}$

Сумма гармонической прогрессии

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (в смысле бесконечной суммы).

Для гармонической прогрессии невозможно при различных единицах дробей (кроме случаев с a = 1 и k = 0) иметь сумму, равную целому числу. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии будет делиться на натуральное число, на которое не делится любой другой знаменатель.[1]

Примечания

Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása, Mat. Fiz. Lapok Т. 39: 17–24, <https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf>. Цитата по Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, vol. 25, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6, DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása, Mat. Fiz. Lapok Т. 39: 17–24, <https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf>. Цитата по Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, vol. 25, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6, DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9.