Выпуклый функционал

Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.

Формально, функционал ${\displaystyle p}$, определённый на линейном пространстве ${\displaystyle L}$, называется выпуклым, если выполнено[1]:

${\displaystyle p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1}$.

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — выпуклые функционалы, ${\displaystyle \alpha }$ — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• ${\displaystyle (p+q)(x)=p(x)+q(x)}$
• ${\displaystyle (\alpha p)(x)=\alpha p(x)}$
• ${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))}$
• Инфимальная конволюция: ${\displaystyle (p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))}$

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программировании[2].