Вариация (математика)

Рассмотрим некоторое пространство ${\displaystyle X}$, на котором задан функционал ${\displaystyle f(x)}$, и ${\displaystyle V}$ — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента ${\displaystyle x_{0}\in X}$, понимают обычно кривую ${\displaystyle x(t,\;v)}$, где ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \beta }$ при ${\displaystyle \alpha \leqslant 0}$, ${\displaystyle \beta \geqslant 0}$ и ${\displaystyle v\in V}$, в пространстве ${\displaystyle X}$, проходящую через ${\displaystyle x_{0}}$ в определённой близости от ограничений, причём ${\displaystyle x_{0}}$ соответствует значение ${\displaystyle t=0}$. Таким образом, когда ${\displaystyle v}$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки ${\displaystyle x_{0}}$.

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда ${\displaystyle V=X}$ и ${\displaystyle x(t,\;v)=x_{0}+tv}$. В этом случае вариацией называется вектор ${\displaystyle v}$. Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации[2], вариации, связанные со скользящими режимами[3].

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

• Вариационное исчисление
• Вариация функционала
• Вариация функции
• Вариация Гато
• Вариация Фреше
• Функциональная производная