Вариация функционала
Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа[1]. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:
Формальное определение
Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:
где остаточный член — расстояние между функциями и , а . При этом линейный функционал называется (первой) вариацией функционала и обозначают через .
Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем :
где
- обобщённый импульс.
При этом , поскольку
Равенство нулю первой вариации для всех является необходимым условием экстремума функционала . Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:
Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.
Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа[2].
Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по ) выражения обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала[3]. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.
Литература
- Лаврентьев, M. А., Люстерник, Л. А. Курс вариационного исчисления. — в 2-х тт. — 2-е изд. — М.—Л.: ОНТИ, 1953.
Примечания
- Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Turin, 1762.
- Gateaux R. Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1919. — t. 47. — p. 70—96.
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 1140 с.