Основная лемма вариационного исчисления

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия
Если непрерывная функция на открытом интервале удовлетворяет равенству
для всех финитных гладких функций на , тогда является тождественным нулём[1][2].

Замечания
  • Гладкость может означать что функция бесконечно дифференцируема[1], но чаще интерпретируется как то, что функция дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывна[2].
  • Финитность означает, что обнуляется за пределами замкнутого интервала , но часто достаточно условие того, что (или и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала , в этом случае предполагается определённой на интервале .

Примечания
  1. Jost & Li-Jost, 1998.
  2. Gelfand & Fomin, 1963.

Литература
  • Jost, Jürgen & Li-Jost, Xianqing. Calculus of variations (англ.). — Cambridge University, 1998.
  • Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. Calculus of variations. — Prentice-Hall, 1963.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.