Вариация Харди
Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.
Определение
Пусть имеется функция , заданная на -мерном параллелепипеде
Зададимся произвольным разбиением параллелепипеда гиперплоскостями
на -мерные параллелепипеды.
Рассмотрим класс всех функций, для которых
где
Пусть, теперь, — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам , и — целочисленный вектор размерности такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел , которые не содержатся среди чисел . Тогда каждую точку можно записать в виде . Если координаты точки фиксированы на значениях , то будем писать .
Вариация Xарди функции на :
Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде , а класс всех таких функций обозначается .
История
Первоначально класс при был введён Г. Харди[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции класса (), имеющей период по каждой переменной, сходятся в каждой точке к числу
где
Для того чтобы функция входила в класс , необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде , где и такие конечные на функции, что , при всех и допустимых приращениях . Класс содержится в классе функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на .
Литература
- Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.
См. также
- Вариация функции
- Вариация Арцела
- Вариация Витали
- Вариация Пъерпонта
- Плоская вариация Тонелли
- Вариация Фреше
Примечания
- Hardy G. Н. The Quarterly Journal of Mathematics. — 1905. — v. 37. — № 1. — p. 57—79.
- Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. — Bd 1. — В.: Springer, 1921.