Аффинный шифр

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера ${\displaystyle m}$ ставится в соответствие число из диапазона ${\displaystyle 0..m-1}$. Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования[2] для каждой буквы

${\displaystyle {\mbox{E}}(x)=(ax+b)\mod {m},}$

где модуль ${\displaystyle m}$ — размер алфавита, а пара ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — ключ шифра. Значение ${\displaystyle a}$ должно быть выбрано таким, что ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ — взаимно простые числа. Функция расшифрования[2]

${\displaystyle {\mbox{D}}(x)=a^{-1}(x-b)\mod {m},}$

где ${\displaystyle a^{-1}}$ — обратное к ${\displaystyle a}$ число по модулю ${\displaystyle m}$. То есть оно удовлетворяет уравнению[2]

${\displaystyle 1=aa^{-1}\mod {m}.}$

Обратное к ${\displaystyle a}$ число существует только в том случае, когда ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа ${\displaystyle a}$ расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=&a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}ax\mod {m}\\&=&x\mod {m}.\end{matrix}}}$

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как ${\displaystyle \varphi (m)m}$[1].

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

Шифрование

В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=4}$ и ${\displaystyle m=26}$, так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число ${\displaystyle a}$ наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения ${\displaystyle a}$: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25[3]. Значение ${\displaystyle b}$ может быть любым, только если ${\displaystyle a}$ не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования ${\displaystyle y=E(x)=(3x+4){\pmod {26}}}$. Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
${\displaystyle x}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Теперь, для каждого значения ${\displaystyle x}$ найдем значение ${\displaystyle (3x+4)}$. После нахождения значения ${\displaystyle (3x+4)}$ для каждого символа возьмем остаток от деления ${\displaystyle (3x+4)}$ на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
${\displaystyle x}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
${\displaystyle 3x+4}$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
${\displaystyle (3x+4){\pmod {26}}}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
${\displaystyle x}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
${\displaystyle 3x+4}$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
${\displaystyle (3x+4){\pmod {26}}}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R

Расшифрование

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет ${\displaystyle {\mbox{D}}(y)=a^{-1}(y+m-b){\mbox{ mod }}m}$, где ${\displaystyle a^{-1}=9}$, ${\displaystyle b=4}$ и ${\displaystyle m=26}$.

Замечание: если каждая ${\displaystyle y\geqslant b}$, то функция расшифрования принимает вид ${\displaystyle {\mbox{D}}(y)=a^{-1}(y-b){\mbox{ mod }}m}$. (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
${\displaystyle y}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Теперь для каждого ${\displaystyle y}$ необходимо рассчитать ${\displaystyle 9(y+m-4)}$ и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
${\displaystyle y}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
${\displaystyle 9(y+26-4)}$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
${\displaystyle 9(y+26-4){\pmod {26}}}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
${\displaystyle y}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
${\displaystyle 9(y+26-4)}$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
${\displaystyle 9(y+26-4){\pmod {26}}}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
сообщение	A	T	T	A	C	K	A	T	D	A	W	N

programming language

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с ${\displaystyle a=1}$, что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу[1].

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. ${\displaystyle m=33}$) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения ${\displaystyle a}$). Каждому значению ${\displaystyle a}$ могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение ${\displaystyle b}$); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. ${\displaystyle m=26}$) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей[3]. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа[4], полного перебора[1], угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений[4]. Кроме того, так мы знаем, что ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе[5] (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.