Апериодическое звено

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

a_{1}{\dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)

.

К стандартному виду приводится делением на $a_{0}$ правой и левой части уравнения:

T{\dot {y}}(t)+y(t)=kx(t)

,

где:

$y(t)$ — выходная величина;
$x(t)$ — входная величина;
$k={\frac {b_{0}}{a_{0}}}$ — коэффициент усиления звена;
$T={\frac {a_{1}}{a_{0}}}$ — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

h(t)=k(1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}})

Весовая функция:

w(t)={\frac {k}{T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}}

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

TsY(s)+Y(s)=kX(s)

,

АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

Y(s)[Ts+1]=X(s)k

.

W(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {k}{Ts+1}}

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо $s$ комплексной переменой $j\omega$ .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число $(1-j\omega T)$ :

W(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}\cdot {\frac {1-j\omega T}{1-j\omega T}}={\frac {k-j\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}-j{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}

\mathrm {Re} \left\{W(j\omega )\right\}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}

\mathrm {Im} \left\{W(j\omega )\right\}=-{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}

ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

W(s)={\frac {2}{0.1s+1}}

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот $\omega <{\frac {1}{T}}$ проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена $k$ . Колебания частот $\omega >{\frac {1}{T}}$ проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени $T$ , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени $T$ , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.[1]

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.[2]

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
$T_{2}^{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+T_{1}{\frac {dx_{2}}{dt}}+x_{2}=kx_{1}$ ,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
$W(s)={\frac {k}{T_{2}^{2}s^{2}+T_{1}s+1}}$

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

Примечания

А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 80. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
Словарь по кибернетике /Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — К.: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5

См. также

Литература

Бесекерский В.А., Попов Е.П. 4-е изд // Теория систем автоматического управления. — СПб.: Профессия, 2003. — 752 с. — ISBN 5-93913-035-6.
Ким Д.П. 2-е изд // Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 312 с. — ISBN 978-5-9221-0857-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 80. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.

[2] Словарь по кибернетике /Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — К.: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5