Аксиома пустого множества

${\displaystyle \neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon b\neq b\})}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon b\in b\})}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon a\in b\})}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon b\not \subset b\})}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon b\subsetneq b\})}$ .

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b\colon \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})}$ .

${\displaystyle \cdots }$

1. Аксиому пустого множества можно вывести из следующей совокупности высказываний:

• ${\displaystyle \forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )}$ ,
• ${\displaystyle \forall b\ (b=b)}$ ,
• ${\displaystyle \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)}$ .

Кроме того, аксиому пустого множества можно вывести из аксиомы бесконечности, представленной в следующем виде:

• ${\displaystyle \exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}$

2. Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность пустого множества. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пустого множества равносильна высказыванию

${\displaystyle \exists !a\forall b\ (b\notin a)}$ , что есть ${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)}$

Единственность пустого множества не противоречит «бесконечной множественности» описаний пустого множества, включая следующие описания:

• ${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\}}$ ,
• ${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\}}$ ,
• ${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\}}$ ,
• ${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}}$ .
• ${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\}}$ .

• Аксиоматика теории множеств
• Пустое множество