Аксиома бесконечности

${\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}$

${\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))}$

0. Индуктивные высказывания

Примеры

${\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \{b\}\in a))}$, где ${\displaystyle \{b\}}$ — множество, единственным элементом которого является ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to {\mathcal {P}}(b)\in a))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {P}}(b)}$ — булеан множества ${\displaystyle b}$

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция

• Натуральные числа