Аксиома объёмности

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{2})}$

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{2})\ )}$

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката ${\displaystyle =}$, а именно:

${\displaystyle \forall a\ (a=a)}$,

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))}$, где ${\displaystyle \varphi [a_{1}]}$ — любое математически корректное суждение об ${\displaystyle a_{1}}$, а ${\displaystyle \varphi [a_{2}]}$ — то же самое суждение, но об ${\displaystyle a_{2}}$.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )}$

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

${\displaystyle \forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))}$,

2) критерий равенства упорядоченных пар

${\displaystyle \forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )}$,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

${\displaystyle \forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )}$,

4) критерий равенства двух последовательностей

${\displaystyle \{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})}$.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой] либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)}$.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ${\displaystyle a}$, для которого верно высказывание

${\displaystyle \forall b\ (b\notin a)}$.

Иначе говоря, требуется доказать

${\displaystyle \exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))}$

Или, что то же самое, требуется доказать

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1}=a_{2})}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}}$

Поскольку ${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a\forall b\ (b\notin a)}$, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Требуется доказать существование не более, чем одного множества ${\displaystyle d}$, для которого верно высказывание

${\displaystyle \forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Иначе говоря, требуется доказать

${\displaystyle \exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))}$

Или, что то же самое, требуется доказать

${\displaystyle \forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}}$

Поскольку ${\displaystyle \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

• Аксиоматика теории множеств