Абелев интеграл

А́белев интеграл[1] — интеграл от алгебраической функции вида:[2]

${\displaystyle \int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)dz~~~(1),}$

где ${\displaystyle R(z,w)}$ — любая рациональная функция от переменных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, связанных алгебраическим уравнением

${\displaystyle F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\cdots +a_{n}(z)=0~~~(2).}$

с целыми рациональными по ${\displaystyle z}$ коэффициентами ${\displaystyle a_{j}(z),j=0,1,\cdots ,n}$. Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle n}$-листно накрывающая сферу Римана, на которой ${\displaystyle z,w}$, а следовательно, и ${\displaystyle R(z,w)}$, рассматриваемые как функции точки поверхности ${\displaystyle F}$, однозначны.