RSA-KEM

Безопасность RSA-KEM может быть проанализирована в модели случайного оракула (Random Oracle Model, далее RO)[2]. Суть модели состоит в следующем. Предположим, что существует некая общедоступная функция обладающая такими свойствами:

1. На каждый новый аргумент функция отвечает новым значением и записывает пару (аргумент, значение) в таблицу.
2. Если аргумент уже встречался, то функция обратится к своей таблице и вернёт значение, соответствующее этому аргументу.

Доказательство основано на предположении, что KDF является случайным оракулом, и что решение обратной задачи RSA невозможно (проще говоря, RSA нельзя взломать). Для любого алгоритма генерации ключа для RSA (то есть алгоритма, возвращающего n, e и d), всегда выполнено n >= nBound (то есть nBound наименьшая допустимая граница для чисел n), и для каждого злоумышленника A справедливо:

${\displaystyle Advantage_{RSA-KEM}(A)\leq Advantage_{RSA}(A')}$ + ${\displaystyle qD/nBound(*),}$

где ${\displaystyle qD}$ — это максимальное число запросов к оракулу, которое может сделать злоумышленник для попытки разгадать шифр${\displaystyle A}$, AdvantageRSA-KEM(A) = |Pr[b*-b] - 1/2| — предсказательная способность А, AdvantageRSA(A') обозначает вероятность успешного решения инверсной задачи RSA. Нужно заметить, что приведённое выше неравенство не учитывает тот факт, что в реальности ${\displaystyle RSAKeyGen}$ с ненулевой вероятностью возвращает «плохие» ключи. Чтобы учесть его, требуется лишь прибавить эту вероятность к правой части неравенства.

Приведём доказательство, рассматривая последовательность игр ${\displaystyle G_{i}}$, и в каждой игре противник A проводит атаку. Каждая из этих игр проходит в одном вероятностном пространстве — меняются только правила того, как рассчитываются случайные величины. В каждой игре будет событие ${\displaystyle S_{i}}$, связанное с событием ${\displaystyle S_{0}}$. Докажем, что разность ${\displaystyle |Pr[S_{i}]-Pr[S_{i-1}]|}$ мала, и, более того, она будет свидетельствовать о том что в последней игре ${\displaystyle Pr[S_{k}]=1/2}$. Пусть ${\displaystyle G0}$ — первая игра, ${\displaystyle S0}$ — событие, обозначающее что ${\displaystyle A}$ правильно угадывает бит ${\displaystyle b}$ в игре ${\displaystyle G0}$. Пусть ${\displaystyle H}$ обозначает случайное предсказание оракула, размещающее элементы ${\displaystyle Z_{n}}$ в битовые строчки длины ${\displaystyle keyLen}$ в свою таблицу. Пусть ${\displaystyle y^{*}\in Z_{n}}$ — атакуемый шифротекст, и ${\displaystyle r^{*}=(y^{*})^{1/e}\in Z_{n}}$. Далее мы определим следующую игру ${\displaystyle G1}$, точно такую же как игру ${\displaystyle G0}$. Если окажется так, что оракул был вызван для дешифрования с аргументом ${\displaystyle y^{*}}$ раньше, и вызов был успешным, то игра останавливается. Пусть ${\displaystyle S1}$ — событие в игре ${\displaystyle G1}$, соответствующее событию ${\displaystyle S0}$. Пусть ${\displaystyle F1}$ — событие, сигнализирующее о том, что игра ${\displaystyle G1}$ была остановлена. Понятно, что

${\displaystyle Pr[F1]\leq qD/nBound,}$

и в промежуток времени, когда игры ${\displaystyle G0}$ и ${\displaystyle G1}$ проходят одинаково, а именно, до того момента как случается ${\displaystyle F1}$, выполняется следующая лемма:

Пусть ${\displaystyle E,E'}$ и ${\displaystyle F}$ — события, определённые на пространстве случайных событий таким образом, что

${\displaystyle Pr[E}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle F]=Pr[E'}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg }$${\displaystyle F]}$

Тогда выполняется:

${\displaystyle |Pr[E]}$${\displaystyle -Pr[}$${\displaystyle E']|}$ ${\displaystyle \leq Pr[F].}$

В нашем случае ${\displaystyle |Pr[S0]}$${\displaystyle -Pr[S1]|}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle qD/nBound.}$ Далее определим игру ${\displaystyle G2}$, такую же как ${\displaystyle G1}$, за исключением того, что атакуемый шифротекст генерируется в начале игры, и если противник запрашивает ${\displaystyle H}$ для ${\displaystyle r^{*}}$, игра останавливается. Пусть ${\displaystyle S2}$ &mdash событие в ${\displaystyle G2}$, соответствующее событию ${\displaystyle S0}$. Очевидно, что

${\displaystyle Pr[S2]=1/2}$

в силу того, что ключ ${\displaystyle H(r^{*})}$ независим от чего-либо, доступного противнику в игре ${\displaystyle G2}$. В этой игре ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle r^{*}}$ вызывается только с целью шифрования.

Пусть ${\displaystyle F2}$ — событие, сигнализирующее о том, что предыдущая игра прервалась. Понятно, что игры ${\displaystyle G1}$ и ${\displaystyle G2}$ протекают одинаково до тех пор, пока не случится ${\displaystyle F2}$, и, следовательно, по лемме мы получим:

${\displaystyle |Pr[S1]-Pr[S2]|}$${\displaystyle \leq Pr[F2]}$

Потребуем, чтобы ${\displaystyle Pr[F2]\leq Advantage_{RSA}(A')}$ для алгоритма A', время работы которого ограничено временем, описанным выше. Тогда неравенство (*) будет выполнено. Алгоритм А' запускается следующим образом. Он получает на вход случайный RSA модуль ${\displaystyle n}$, RSA экспоненту ${\displaystyle e}$ и случайный элемент ${\displaystyle y*\leq Zn}$. A' создаёт открытый ключ, используя ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle e}$, а затем разрешает противнику A начать игру. Когда А вызывает оракул для шифрования, А' отвечает А парой ${\displaystyle (K^{*},y^{*})}$, где ${\displaystyle K^{*}}$ — случайный бит строки длиной ${\displaystyle keyLen}$, а ${\displaystyle y^{*}}$ подаётся на вход A. Алгоритм A' симулирует случайное предсказание ${\displaystyle H}$, как и дешифрующее RO, следующим образом. Для каждого входного ${\displaystyle r\leq Z_{n}}$ для случайного предсказания A' вычисляет ${\displaystyle y=r^{e}\in Z_{n}}$, и размещает ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle y}$ и случайное значение ${\displaystyle K=H(r)}$ в таблицу. Однако, если ${\displaystyle y=y^{*}}$ А' вместо того выводит ${\displaystyle r}$ и завершается. Когда противник A предоставляет шифротекст ${\displaystyle y\in Z_{n}}$ дешифрующему предсказанию, А' ищет значение ${\displaystyle y}$ в описанной таблице, чтобы определить было ли вычислено значение случайного предсказания при ${\displaystyle r=y^{(1/e)}\in Z_{n}}$. Если да, то А' отвечает дешифрующему предсказанию значением ${\displaystyle K=H(r)}$, хранящемся в таблице. Иначе, алгоритм создаёт новый случайный ключ ${\displaystyle K}$, и размещает пару ${\displaystyle (y,K)}$ во второй таблице. Более того, если в будущем противник А должен будет вычислить случайное предсказание при ${\displaystyle r\leq Z_{n}}$ таком что ${\displaystyle r^{e}=y}$, то ключ ${\displaystyle K}$, сгенерированный выше, будет использован как значение ${\displaystyle H(r)}$. Понятно, что A' отлично симулирует А, и даёт на выходе решение для данного случая RSA с вероятностью ${\displaystyle Pr[F2]}$. Это и доказывает безопасность алгоритма. Количественно можно проверить, что RSA-KEM обеспечивает лучшую защиту по сравнению с RSA-OAEP+ и RSA-OAEP. Это преимущество выражается тем более, чем больше число сообщений, зашифрованных одним открытым ключом (замоделировано в BBM00). Это можно показать воспользовавшись тем, что решение инверсионной задачи RSA является очень трудозатратным. Таким образом безопасность RSA-KEM совсем не уменьшается с возрастанием числа зашифрованных текстов. Нужно заметить, что это утверждение справедливо только если число r в алгоритме шифрования для Simple RSA выбрано равномерно по модулю n, либо, как минимум, его распределение должно быть неотличимо от равномерного с точки зрения вычислений. Кроме прочего, RSA-KEM, в отличие от RSA-OAEP or RSA-OAEP+, нельзя назвать «хрупким» алгоритмом, то есть не найдены возможности для атак на его реализации.

• V. Shoup. A Proposal for an ISO Standard for Public Key Encryption. Preprint, December 2001.
• FCD 18033-2 Encryption algorithms — Part 2: Asymmetric ciphers.
• Securing RSA-KEM via the AES (недоступная ссылка)
• RSA Algorithm
• The Random Oracle Methodology
• Use of the RSA-KEM Key Transport Algorithm
• AES Key Wrap Specification