K-пространство (топология)

k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Определение

Топологическое пространство называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

  • Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда всякое его пересечение с каждым компактным множеством замкнуто в этом множестве .
  • Множество открыто в тогда и только тогда, когда всякое его пересечение с каждым компактным множеством открыто в этом множестве .

Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в k-пространствах

Отображение k-пространства в произвольное топологическое пространство непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения на компактное множество непрерывно.

Непрерывное отображение произвольного топологического пространство в k-пространство замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества из области значений сужение этого отображения замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения и , у которых области определения и и произведение областей значений являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений является факторным отображением.

Сохранение при операциях

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.

Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространств

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.

Каждый CW-комплекс является k-пространством.

Литература

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.
  • Спеньер, Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971. — 680 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.