Экстремаль

Экстремаль (от лат.  extremus — крайний), интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера в вариационном исчислении. Является гладким решением уравнения Эйлера.

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении экстремума функционала

${\displaystyle J(y)=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y,y^{\prime })\!~dx}$

(1)

среди гладких кривых ${\displaystyle y(x),}$ удовлетворяющих граничным условиям

${\displaystyle y(x_{1})=y_{1},\,y(x_{2})=y_{2}.}$

(2)

тогда уравнение Эйлера примет вид

${\displaystyle F_{y}-{\frac {d}{dx}}\!F_{y'}=0}$

обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка, которое в развёрнутом виде запишется следующим образом

${\displaystyle F_{y'y'}y''+F_{y'y}y'+F_{y'x}-F_{y}=0}$

(3)

${\displaystyle y(x)}$ называется экстремалем, если экстремум в (1), (2) достигается на гладкой кривой ${\displaystyle y(x)}$, ${\displaystyle x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}}$, то есть если ${\displaystyle y(x)}$ является решением уравнения Эйлера (3).