Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения[1]. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

{\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{1}\\\end{cases}};~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника[2]:

A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные[3] или комплексные[4] параметры.
Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей[5].
Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z11, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений[5].
H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами[3].
G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G-это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров

Тип	Система уравнений	Измерение параметров
$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$	$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$

Преобразование параметров

Принцип преобразования

В качестве примера преобразуем h-параметры четырёхполюсника в y-параметры. Для этого нужно осуществить следующее преобразование системы уравнений:

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.

Из первого уравнения исходной системы выразим I₁:

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Первое уравнение подставим во второе:

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Преобразуем второе уравнение:

I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2},

где $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Получаем систему уравнений

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\end{cases}}.

Сравнивая её с целевой системой, получаем выражения для коэффициентов:

y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};

Определитель новой системы находим простой подстановкой:

\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ $h_{12}=-y_{12}/y_{11}$ $h_{21}=y_{21}/y_{11}$ $h_{22}=\Delta _{y}/y_{11}$ $\Delta _{h}=y_{22}/y_{11}$	$h_{11}=\Delta _{z}/z_{22}$ $h_{12}=z_{12}/z_{22}$ $h_{21}=-z_{21}/z_{22}$ $h_{22}=1/z_{22}$ $\Delta _{h}=z_{11}/z_{22}$	$h_{11}=g_{22}/\Delta _{g}$ $h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g}$ $h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g}$ $h_{22}=g_{11}/\Delta _{g}$ $\Delta _{h}=1/\Delta _{g}$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ $y_{12}=-h_{12}/h_{11}$ $y_{21}=h_{21}/h_{11}$ $y_{22}=\Delta _{h}/h_{11}$ $\Delta _{y}=h_{22}/h_{11}$		$y_{11}=z_{22}/\Delta _{z}$ $y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z}$ $y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z}$ $y_{22}=z_{11}/\Delta _{z}$ $\Delta _{y}=1/\Delta _{z}$	$y_{11}=\Delta _{g}/g_{22}$ $y_{12}=g_{12}/g_{22}$ $y_{21}=-g_{21}/g_{22}$ $y_{22}=1/g_{22}$ $\Delta _{y}=g_{11}/g_{22}$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ $z_{12}=h_{12}/h_{22}$ $z_{21}=-h_{21}/h_{22}$ $z_{22}=1/h_{22}$ $\Delta _{z}=h_{11}/h_{22}$	$z_{11}=y_{22}/\Delta _{y}$ $z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y}$ $z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y}$ $z_{22}=y_{11}/\Delta _{y}$ $\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$ $z_{12}=-g_{12}/g_{11}$ $z_{21}=g_{21}/g_{11}$ $z_{22}=\Delta _{g}/g_{11}$ $\Delta _{z}=g_{22}/g_{11}$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ $\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ $g_{21}=-y_{21}/y_{22}$ $g_{22}=1/y_{22}$ $\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ $g_{12}=-z_{12}/z_{11}$ $g_{21}=z_{21}/z_{11}$ $g_{22}=\Delta _{z}/z_{11}$ $\Delta _{g}=z_{22}/z_{11}$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta _{A}/A$ $g_{21}=\Delta _{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{22}/h_{21}$ $D=-1/h_{21}$	$A=-y_{22}/y_{21}$ $B=-1/y_{21}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{11}/y_{21}$	$A=z_{11}/z_{21}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{21}$ $D=z_{22}/z_{21}$	$A=1/g_{21}$ $B=g_{22}/g_{21}$ $C=g_{11}/g_{21}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Преобразования схем

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Схема	$H$	$Y$	$Z$	$G$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r}}$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r}}$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R}}$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R}}$ $R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r}}$ $K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r}}$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R}}$

Принцип вычисления параметров схемы

В качестве примера найдем входное/выходное сопротивление и коэффициенты усиления по току и напряжению для четырёхполюсника, описанного h-параметрами.

Входное сопротивление

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};

Ненагруженный четырёхполюсник описывается системой

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

При подключении нагрузки

U_{2}=-I_{2}R.

Преобразуем систему уравнений

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_{2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1+h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};

(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}.

Разновидности четырёхполюсников

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

{\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}

Гиратор

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления[6]). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

{\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}

Нуллор

Нуллор — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения[7]. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также

Двухполюсник

Примечания

Бакалов, 1989, с. 171.
Бессонов, 1978, с. 109.
Бакалов, 1989, с. 175.
Бессонов, 1996, с. 137.
Бакалов, 1989, с. 174.
Бессонов, 1996, с. 149.
Кисель, 1986, с. 68.

Литература

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_7ef520de3dbe62cb-1] Бакалов, 1989, с. 171.

[_c035a2a058a86ed1-2] Бессонов, 1978, с. 109.

[_7ef520de3dbe62cf-3] Бакалов, 1989, с. 175.

[_e7d35bce63adc276-4] Бессонов, 1996, с. 137.

[_7ef520de3dbe62ce-5] Бакалов, 1989, с. 174.

[_e7d35cce63adc3cd-6] Бессонов, 1996, с. 149.

[_24de2b0abdfa6674-7] Кисель, 1986, с. 68.