Частные производные высших порядков

Пусть задана функция ${\displaystyle f(x,y)}$. Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) ${\displaystyle \partial f(x,y) \over \partial x}$ и ${\displaystyle \partial f(x,y) \over \partial y}$, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных ${\displaystyle x,y}$ и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная ${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)}$ обозначается через ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}}$ или ${\displaystyle f_{xx}''}$, а ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)}$ через ${\displaystyle \partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}$ или ${\displaystyle f_{xy}''}$. Таким образом,

${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}=f_{xx}''}$, ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}=f_{xy}''}$

и, аналогично,

${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x\partial y}}=f_{yx}''}$, ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y^{2}}}=f_{yy}''}$.

Производные ${\displaystyle f_{xx}'',f_{xy}'',f_{yx}''}$ и ${\displaystyle f_{yy}''}$ называются частными производными второго порядка. Определение: частной производной второго порядка от функции ${\displaystyle z=f(x;y)}$ дифференцируемой в области ${\displaystyle D}$, называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial x^{3}}}$, ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial y\partial x^{2}}}$, ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial y^{2}\partial x}}$ и т. д.