Функция расходов

Двойственная задача потребителя заключается в выборе такого набора благ ${\displaystyle h}$, чтобы его полезность была не меньше заданной полезности (полезности заданного набора ${\displaystyle x}$), а совокупные расходы ${\displaystyle ph}$ были минимальными (${\displaystyle p}$ — вектор цен на блага). То есть

${\displaystyle ph\rightarrow min,\{h\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(h)\geq u^{*}(x)\}}$

Решение этой задачи — ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ — спрос Хикса.

Функцией расходов ${\displaystyle e(p,u^{*})}$ называют зависимость затрат на приобретение набора ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ от ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle u^{*}}$), то есть:

${\displaystyle e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})}$

Поскольку решение двойственной задачи потребителя достигается на границе допустимого множества, то есть ${\displaystyle u(h)=u^{*}(x)}$, то иногда в качестве аргументов функции расходов используется не значение полезности ${\displaystyle u^{*}}$, а потребительский набор ${\displaystyle x}$, полезность которой равна ${\displaystyle u^{*}}$, то есть:

${\displaystyle e(p,x)=ph(p,u(x))}$

При некоторых слабых предположениях (неоклассические непрерывные предпочтения потребителя) функция расходов является непрерывной функцией и по вектору ${\displaystyle p}$ — вогнутой (выпуклой вверх), однородной первой степени и не убывающей функцией. Кроме того можно показать, что если набор ${\displaystyle x}$ «не хуже» набора ${\displaystyle y}$ в смысле нестрогого отношения предпочтения, то ${\displaystyle e(p,x)\geqslant e(p,y)}$.

Спрос Хикса равен частной производной функции расходов по ценам (Лемма Шепарда).

Лемма Шепарда