Функция множеств

Функция множеств — функция ${\displaystyle f\colon {\mathcal {S}}\to E}$, определённая на некоторой системе множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ с областью значений в некотором множестве ${\displaystyle E}$. Например, функция ${\displaystyle \#\colon 2^{\Omega }\to \mathbb {N} }$, сопоставляющая каждому подмножеству множества ${\displaystyle \Omega }$ его кардинальное число — функция множеств.

В функциональном анализе обычно изучаются функции множеств, принимающие значения на числовой оси ${\displaystyle \mathbb {R} }$, либо в произвольном метрическом пространстве. Мера (как функция, ставящая в соответствие множеству вещественную величину) является функцией множеств; в связи с определением меры особый интерес представляют счётно-аддитивные функции множеств (${\displaystyle \sigma }$-аддитивной мерой является неотрицательная счётно-аддитивная функция множеств, определённая на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре и обращающаяся в нуль на пустом множестве).