Функция Кёнигса

Фу́нкция Кё́нигса связана с решением функционального уравнения

${\displaystyle \textstyle F[f(x)]=cF(x),}$

где ${\displaystyle \textstyle F(x)}$ — неизвестная функция, ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ и ${\displaystyle \textstyle c}$ — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера.

Пусть ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ — аналитическая функция, и пусть ${\displaystyle \textstyle f(\alpha )=\alpha }$, где ${\displaystyle \alpha \neq \infty }$, причем

${\displaystyle \left|{\frac {df(\alpha )}{dx}}\right|<1}$.

Это значит, что ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ является притягивающей неподвижной точкой функции ${\displaystyle \textstyle f(x)}$. Пусть ${\displaystyle \textstyle f^{k}(x)}$ есть ${\displaystyle \textstyle k}$-я итерация функции ${\displaystyle \textstyle f(x)}$:

${\displaystyle f^{0}(x)=x,~~f^{1}(x)=f(x),~~f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))}$ при ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

Для всякого ${\displaystyle \textstyle x}$, принадлежащего некоторой окрестности точки ${\displaystyle \textstyle \alpha }$, последовательность итераций ${\displaystyle {f^{k}(x)}~(k=0,1,2,\ldots )}$ сходится к ${\displaystyle \textstyle \alpha }$.

Предположив также, что

${\displaystyle {\frac {df(\alpha )}{dx}}=c\neq 0,}$

можно показать, что в окрестности точки ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ существует предел

${\displaystyle K_{f}(x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {f^{k}(x)-\alpha }{[{\frac {df(\alpha )}{dx}}]^{k}}}~,}$

который является в этой окрестности аналитической функцией переменной ${\displaystyle \textstyle x}$ и обладает свойствами

${\displaystyle K_{f}(\alpha )=0,~~{\frac {dK_{f}(\alpha )}{dx}}=1.}$

Функция ${\displaystyle \textstyle K_{f}(x)}$ есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Габриэль Кёнигс[1] при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки ${\displaystyle \textstyle x=\alpha }$ решение уравнения Шрёдера, в котором ${\displaystyle \textstyle 0<|c|<1}$, отличается от ${\displaystyle \textstyle K_{f}(x)}$ только постоянным множителем.

Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если

${\displaystyle \textstyle f(x)={\sqrt {x}}}$ и ${\displaystyle \textstyle c={\frac {1}{2}}}$, то решением соответствующего уравнения Шрёдера

${\displaystyle \textstyle F[{\sqrt {x}}]={\frac {1}{2}}F(x)}$,

является ${\displaystyle \textstyle F(x)=\log _{p}x}$ для любого ${\displaystyle \textstyle p>0}$, так что ${\displaystyle \textstyle F(x)=A\log _{10}x}$, где ${\displaystyle \textstyle A=\log _{p}{10}}$ — произвольная константа. Метод вычисления функции ${\displaystyle \textstyle \log _{10}x}$ у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».