Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле:

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

ba-ab=0

и остаётся

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

a^{2}+ba-ab-b^{2}

.

Чтобы это было равно $a^{2}-b^{2}$ , мы должны иметь

ba-ab=0

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Формулы для четвёртой степени

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (выводится из $a^{2}-b^{2}$ )
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})$

Формулы для n-й степени

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , где $n\in N$
$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , где $n\in N$

В комплексных числах

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)$

Для произвольной чётной степени:

$a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)$ , где ${\sqrt[{n}]{\mp 1}}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

$a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)$ , где ${\sqrt[{n}]{\pm 1}}$ пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

$(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$ , где $n\in N$
$(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$ , где $n\in N$

См. также

Литература

М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.