Формула произведения корангов

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Формулировка

Корангом линейного отображения в прообразе (в образе) называется число (соответственно, ), где  — ранг отображения . Коранги связаны с размерностью ядра (обозначим её ) формулами: и [1].

Пусть  — гладкое отображение гладких многообразий и размерностей и , соответственно. Символом обозначается его производная в точке , то есть линейное отображение касательных пространств .

Точка принадлежит множеству если размерность ядра производной в этой точке равна . Множества заведомо покрывают всё многообразие , однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае имеет место неравенство , из которого с учетом соотношения следует, что , то есть множество пусто).

Теорема. Для отображения общего положения все множества являются гладкими подмногообразиями в . При этом имеет место соотношение

где  — ранг отображения называемое формулой произведения корангов[1].

Вычисленное по этой формуле значение может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа множество матриц ранга образует гладкое многообразие коразмерности [1].

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.

Примечания

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.