Формула произведения корангов

Корангом линейного отображения ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ в прообразе (в образе) называется число ${\displaystyle m-r}$ (соответственно, ${\displaystyle n-r}$), где ${\displaystyle r}$ — ранг отображения ${\displaystyle A}$. Коранги связаны с размерностью ядра ${\displaystyle A}$ (обозначим её ${\displaystyle i}$) формулами: ${\displaystyle m-r=i}$ и ${\displaystyle n-r=n-m+i}$[1].

Пусть ${\displaystyle f:M^{m}\to N^{n}}$ — гладкое отображение гладких многообразий ${\displaystyle M^{m}}$ и ${\displaystyle N^{n}}$ размерностей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, соответственно. Символом ${\displaystyle f_{*x}}$ обозначается его производная в точке ${\displaystyle x\in M^{m}}$, то есть линейное отображение касательных пространств ${\displaystyle f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}}$.

Точка ${\displaystyle x\in M^{m}}$ принадлежит множеству ${\displaystyle \Sigma ^{i},}$ ${\displaystyle i\geq 0,}$ если размерность ядра производной ${\displaystyle f_{*x}}$ в этой точке равна ${\displaystyle i}$. Множества ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m}}$ заведомо покрывают всё многообразие ${\displaystyle M^{m}}$, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае ${\displaystyle n>m}$ имеет место неравенство ${\displaystyle r\leq n<m}$, из которого с учетом соотношения ${\displaystyle m-r=i}$ следует, что ${\displaystyle i>0}$, то есть множество ${\displaystyle \Sigma ^{0}}$ пусто).

Вычисленное по этой формуле значение ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i}}$ может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество ${\displaystyle \Sigma ^{i}}$ пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа ${\displaystyle (m,n)}$ множество матриц ранга ${\displaystyle r}$ образует гладкое многообразие коразмерности ${\displaystyle (m-r)(n-r)}$[1].

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.