Формула Маграбе

Пусть ${\displaystyle S_{1}(t)}$ и ${\displaystyle S_{2}(t)}$ — цены двух рискованных активов в момент ${\displaystyle t}$, каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный ${\displaystyle q_{i}}$. Опцион ${\displaystyle C}$, который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения ${\displaystyle T}$. Другими словами его выигрыш ${\displaystyle C(T)}$ составит ${\displaystyle \max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))}$.

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность ${\displaystyle \sigma }$ их отношения ${\displaystyle S_{1}/S_{2}}$ является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности ${\displaystyle S_{i}}$ равны ${\displaystyle \sigma _{i}}$, то ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$, то ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент корреляции броуновских движений ${\displaystyle S_{i}}$.

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

где через ${\displaystyle N}$ обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$,

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

• Во первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах ${\displaystyle S_{2}}$ (в таких случаях говорят, что ${\displaystyle S_{2}}$ используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит ${\displaystyle S_{1}/S_{2}}$ единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
• При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка ${\displaystyle q_{2}}$ совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен ${\displaystyle \max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)}$.
• Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка ${\displaystyle q_{1}}$ первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
• Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива ${\displaystyle S_{1}(0)/S_{2}(0)}$, процентная ставка ${\displaystyle q_{2}}$, волатильность ${\displaystyle \sigma }$ и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
• Так как окончательная цена опциона выражена в единицах ${\displaystyle S_{2}}$, то умножение на ${\displaystyle S_{2}(0)}$ переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

• Формула Блэка-Шоулза
• Формула Блэка

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978