Фиксированные эффекты с разложением вектора

Стандартные оценивающие функции моделей с фиксированными эффектами (с дамми на группы и внутригрупповым преобразованием) имеют несколько недостатков. Во-первых, они неспособны на получение оценок для не изменяющихся во времени переменных. Во-вторых, они приводят к неээфективным оценкам для переменных, обладающих слабой изменчивостью во времени. Классическим подходом для включения не изменяющихся во времени переменных считается использование модели Хаусмана-Тэйлора, однако для идентификации этой модели необходимо использование инструментальных (экзогенных) переменных как для вариабельных, так и для невариабельных предикторов. Как следствие, эффективность оценок напрямую связана с силой инструментов, что не всегда реализуемо на практике.

В общем виде регрессионная модель, к которой применяется метод FEVD, выглядит следующим образом:

где ${\displaystyle y_{it}}$ — отклик, ${\displaystyle x_{kit}}$ — изменяющиеся во времени, а ${\displaystyle z_{mi}}$ — не изменяющиеся во времени предикторы (и соответствующие им регрессионные коэффициенты ${\displaystyle \beta _{k}}$ и ${\displaystyle \gamma _{m}}$), ${\displaystyle a_{i}}$ — индивидуальный эффект ${\displaystyle i}$-той группы, ${\displaystyle \beta _{0}}$ — общая константа модели, ${\displaystyle \varepsilon _{it}}$ — регрессионный остаток модели.

Предложенный в изначальной статье алгоритм оценивания моделей FEVD включает в себя три этапа[1]:

1. Получение индивидуальных эффектов с помощью базовой модели с фиксированными эффектами. Исходная модель после внутригруппового преобразования выглядит так: ${\displaystyle y_{it}-{\bar {y}}_{i}=\beta _{k}^{FE}\sum \limits _{k=1}^{K}(x_{kit}-{\bar {x}}_{ki})+\gamma _{m}\sum \limits _{m=1}^{M}(z_{mi}-z_{mi})+(a_{i}-a_{i})+(\varepsilon _{it}-{\bar {\varepsilon }}_{i})}$. Вектор ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ оценок индивидуальных фиксированных эффектов рассчитывается как ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}={\bar {y}}_{i}-\sum \limits _{k=1}^{K}\beta _{k}^{FE}{\bar {x}}_{ki}-{\bar {\varepsilon }}_{i}}$
2. Строится регрессионная модель полученных индивидуальных эффектов на не изменяющиеся или слабо изменяющиеся во времени регрессоры: ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}=\sum \limits _{m=1}^{M}\gamma _{m}z_{mi}+h_{i}}$. Тем самым вектор индивидуальных эффектов разделяется на объяснённую (с коэффициентами ${\displaystyle \gamma _{m}}$) и необъяснённую (регрессионные ошибки ${\displaystyle h_{i}}$) компоненты.
3. Оценивается сквозная МНК-регрессия исходного отклика на все регрессоры (как сильно изменчивые, так и слабо изменчивые или неизменчивые во времени), а также необъяснённую компоненту вектора индивидуальных эффектов:

Плюмпер и Трёгер утверждали, что оценки FEVD являются состоятельными, если невариабельные переменные не скоррелированы с ненаблюдаемыми индивидуальными эффектами (${\displaystyle cor(a_{i},~z_{mi})=0}$), и являются смещёнными — в противном случае[2]. С помощью экспериментов по методу Монте-Карло было установлено, что оценки FEVD более надёжны, нежели оценки обычных фиксированных эффектов, случайных эффектов, сквозной МНК-регрессии или метода Хаусмана-Тэйлора[3].

• Plümper T., Troeger V. Efficient estimation of time-invariant and rarely changing variables in finite sample panel analyses with unit fixed effects // Political Analysis. — 2007. — № 15. — P. 124-139.