Смещение вследствие пропущенных переменных

Представим, что истинная регрессионная модель выглядит следующим образом:

${\displaystyle y=\mathrm {x} '\beta +\gamma z+\epsilon ,}$

где ${\displaystyle y}$ — вектор отклика, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle z}$ — матрица и вектор независимых переменных. При условии, что ${\displaystyle cor(x,~\epsilon )=0}$ и ${\displaystyle cor(z,~\epsilon )=0}$, то оценки ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ соответственно будут МНК-оценками регрессионной зависимости отклика от независимых переменных. В частности, ${\displaystyle {\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y}$ (где ${\displaystyle X}$ — объединённая матрица независимых переменных).

Чтобы смоделировать смещение вследствие пропущенных переменных, опустим предиктор ${\displaystyle z}$, включив его в состав нескоррелированной с ${\displaystyle x}$ части модели:

${\displaystyle y=\mathrm {x} '\beta +(\gamma z+\epsilon ),\quad }$ где ${\displaystyle cor(x,~(\gamma z+\epsilon ))\neq 0}$.

Тогда МНК-оценки коэффициентов при предикторах будут несостоятельны в сравнении с истинным коэффициентом ${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\beta +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\gamma +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )}$

Поскольку, согласно допущению изначальной модели, ${\displaystyle cor(x,~\epsilon )=0}$, то ${\displaystyle \mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )\right)=0}$, тогда как

${\displaystyle \mathrm {plim} ({\hat {\beta }})=\beta +\delta \gamma ,\quad }$ откуда ${\displaystyle \delta =\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\right)}$.

• Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: methods and applications. – Cambridge university press, 2005. — 1034 p. — P. 92-93.
• Wooldridge J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. – South-Western College Pub, 2002. — 819 p. — P. 87-92, 165-166.