Факторизационное тождество

Для характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы при ${\displaystyle |z|<1}$ , ${\displaystyle Im\lambda =0}$ справедливо тождество: ${\displaystyle 1-z\phi (\lambda )=[1-M(e^{i\lambda \chi _{+}^{0}}z^{\eta _{+}^{0}});\eta _{+}^{0}<\infty ]D^{-1}(z)[1-M(e^{i\lambda \chi _{-}^{0}}z^{\eta _{-}^{0}});\eta _{-}^{0}<\infty ]}$, где ${\displaystyle D(z)=1-M(z^{\eta _{+}^{0}});\chi _{+}^{0}=0,\eta _{+}^{0}<\infty )=1-M(z^{\eta _{-}^{0}});\chi _{-}^{0}=0,\eta _{-}^{0}<\infty )}$.

В формулировке теоремы ${\displaystyle \phi (\lambda )=\phi _{\xi }(\lambda )=Me^{i\lambda \xi }}$ - характеристическая функция последовательности ${\displaystyle {\mathcal {f}}\xi _{k}{\mathcal {g}}}$ независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k},S_{0}=0}$. Случайная величина ${\displaystyle \eta _{+}^{0}=min{\mathcal {f}}k\geqslant 1:S_{k}\geqslant 0{\mathcal {g}}}$ есть время первого достижения нулевого уровня. Определим ${\displaystyle \chi _{+}^{0}=S_{\eta _{+}^{0}}}$ как первую неотрицательную сумму. Случайная величина ${\displaystyle \eta _{-}^{0}=min{\mathcal {f}}k\geqslant 1:S_{k}\leqslant 0{\mathcal {g}}}$ есть время достижения нулевого уровня. Определим ${\displaystyle \chi _{-}^{0}=S_{\eta _{-}^{0}}}$ как первую неположительную сумму.

• Боровков А. А. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1972. — С. 165. — 287 с.