Уравнение рендеринга

В компьютерной графике уравнение рендеринга — интегральное уравнение, которое определяет количество светового излучения в определённом направлении как сумму собственного и отражённого излучения. Уравнение впервые было опубликовано в работах David Immel[1] и James Kajiya[2] в 1986 году. Различные алгоритмы компьютерной графики решают это основное уравнение.

Уравнение рендеринга определяет общее количество света испущенного из заданной точки x по заданному направлению, учитывая функцию входящего излучения и двунаправленную функцию распределения отражения.

Физической основой уравнения является закон сохранения энергии. Пусть L — это количество излучения по заданному направлению в заданной точке пространства. Тогда количество исходящего излучения (L_o) — это сумма излучённого света (L_e) и отражённого света. Отражённый свет может быть представлен как сумма приходящего излучения (L_i) по всем направлениям умноженного на коэффициент отражения из данного угла.

Уравнение рендеринга может быть представлено как:

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)+\int _{\Omega }f_{r}(\mathbf {x} ,\omega ',\omega ,\lambda ,t)L_{i}(\mathbf {x} ,\omega ',\lambda ,t)(-\omega '\cdot \mathbf {n} )d\omega '}$

где:

• ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны света
• ${\displaystyle t}$ — время
• ${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)}$ — количество излучения заданной длины волны ${\displaystyle \lambda }$ исходящего вдоль направления ${\displaystyle \omega }$ во время ${\displaystyle t}$, из заданой точки ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle L_{e}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)}$ — излучённый свет
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\cdots d\omega '}$ — интеграл по полусфере входящих направлений
• ${\displaystyle f_{r}(\mathbf {x} ,\omega ',\omega ,\lambda ,t)}$ — двунаправленная функция распределения отражения (иначе двулучевая функция отражательной способности (ДФОС, англ. Bidirectional reflectance distribution function — BRDF)), количество излучения отражённого от ${\displaystyle \omega '}$ к ${\displaystyle \omega }$ в точке ${\displaystyle \mathbf {x} }$, во время ${\displaystyle t}$, на длине волны ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle L_{i}(\mathbf {x} ,\omega ',\lambda ,t)}$ — длина волны ${\displaystyle \lambda }$ по входящему направление к точке ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из направления ${\displaystyle \omega '}$ во время ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle -\omega '\cdot \mathbf {n} }$ — поглощение входящего излучения по заданному углу

Уравнение имеет три особенности: оно линейно, а также изотропно и однородно — то есть одинаково для всех направлений и точек пространства.