Уравнение Стейнхарта — Харта

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В наиболее общем виде это уравнение:

{{\frac {1}{T}}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\ln ^{i}(R)=}

{=a_{0}+a_{1}\ln(R)+a_{2}\ln ^{2}(R)+a_{3}\ln ^{3}(R)+a_{4}\ln ^{4}(R)+\ldots }

где:

T

— абсолютная температура (в Кельвинах);

R

— сопротивление при температуре

T

(в Омах);

a_{i}

- коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от начального сопротивления терморезистора, его типа.

В практических расчётах членом суммы $a_{2}\ln ^{2}(R)$ и последующими членами ${a_{4}\ln ^{4}(R)+\ldots }$ обычно пренебрегают так как они, как правило, вносят несущественный вклад в точность результата расчётов по уравнению.

Поэтому уравнение обычно записывают так:

{1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3},

где

A=a_{0},

B=a_{1},

C=a_{3}.

Коэффициенты $A$ , $B$ , $C$ зависят от параметров терморезистора и от диапазона температур в котором это уравнение даёт достаточную для практического применения точность.

Обратное уравнение

Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-{x \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{y+{x \over 2}}}\right),

где

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта

Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

{\begin{bmatrix}1&\ln \left(R_{1}\right)&\ln ^{3}\left(R_{1}\right)\\1&\ln \left(R_{2}\right)&\ln ^{3}\left(R_{2}\right)\\1&\ln \left(R_{3}\right)&\ln ^{3}\left(R_{3}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}

где $R_{1}$ , $R_{2}$ и $R_{3}$ — значения сопротивления при температуре $T_{1}$ , $T_{2}$ и $T_{3}$ соответственно.

Подстановки и решение системы:

{\begin{aligned}L_{1}&=\ln \left(R_{1}\right),\;L_{2}=\ln \left(R_{2}\right),\;L_{3}=\ln \left(R_{3}\right)\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\;Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\;Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\;\gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}

Применение уравнения

Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Скрипт на Ruby для расчета

#!/usr/bin/env ruby

puts puts "\t\u2318\u2318 You're using Ruby ver. " + RUBY_VERSION + "\t\u2318\u2318"

$k = 273.15

E = ( Math::E )

def ln(x)
  ( ln = Math.log(x) )
end 

def sqrt(x)
  ( sqrt = Math.sqrt(x) )
end 

def cbrt(x)
  ( sqrt = Math.cbrt(x) )
end 

def exp(x)
  ( exp = Math.exp(x) )
end 
#-----------------------------------
def arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
  y1 = 1 / t1; y2 = 1 / t2; y3 = 1 / t3 
  l1 = ln(r1); l2 = ln(r2); l3 = ln(r3)

  g2 = (y2 - y1) / (l2 -l1)
  g3 = (y3 - y1) / (l3 -l1)

  c = ((g3 -g2) / (l2 - l1)) / (l1 + l2 + l3)
  b = g2 - c * (l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2)
  a = y1 - (b + c * l1 ** 2) * l1
	
  arr_abc = [a, b, c]
end

=begin 
# Прмер ввода экспериментальных данных:

t1 =  0 + $k; r1 = 32.014e+3
t2 = 40 + $k; r2 =  5.372e+3
t3 = 70 + $k; r3 =  1.7942e+3

# -------------------------------------
=end
# Расчёт:

tmp = arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
a_t = tmp[0]; b_t = tmp[1]; c_t = tmp[2]

#puts "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}"

#------------------------
=begin
# Данные для проверки:
t = 55; t = t + $k
=end

x = (a_t - 1 / t) / c_t
y = sqrt((b_t / (3 * c_t)) ** 3 + (x / 2) ** 2)

#--------------------------

# Расчет сопротивления по температуре: 
r_tmp = exp( cbrt(y - (x / 2)) - cbrt(y + (x / 2)) )

puts "T = #{t - $k}°C, R = #{(r_tmp).round(1)} Ω"

# Расчет температуры по сопротивлению:
t_r = 1 / (a_t + b_t * ln(r_tmp) + c_t * ((ln(r_tmp).abs) ** 3) )

puts "R = #{(r_tmp).round(1)} Ω, T = #{(t_r - $k).round(2)}°C"

Результат:
T = 55.0°C, R = 3052.2 Ω
R = 3052.2 Ω, T = 55.0°C

Из datasheet для EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K
 — 3.0393 kΩ —

Авторы уравнения

Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта (John S. Steinhart) и Стэнли Харта (Stanley R. Hart), впервые опубликовавших его в 1968 г.[1]

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.[2]

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии[3], работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было предложено это уравнение.

Примечания

John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497—503, ISSN 0011-7471, doi:10.1016/0011-7471(68)90057-0.
Memorial resolution of the faculty of the University of Wisconsin-Madison on the death of professor emeritus John S. Steinhart (неопр.). University of Wisconsin (5 April 2004). Дата обращения: 2 июля 2015. Архивировано 10 июня 2010 года.
Dr. Stan Hart, (неопр.). Woods Hole Oceanographic Institution. Дата обращения: 2 июля 2015.

Ссылки

Калькулятор уравнения Стейнхарта —Харта (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497—503, ISSN 0011-7471, doi:10.1016/0011-7471(68)90057-0.

[2] Memorial resolution of the faculty of the University of Wisconsin-Madison on the death of professor emeritus John S. Steinhart (неопр.). University of Wisconsin (5 April 2004). Дата обращения: 2 июля 2015. Архивировано 10 июня 2010 года.

[3] Dr. Stan Hart, (неопр.). Woods Hole Oceanographic Institution. Дата обращения: 2 июля 2015.