Универсум Гротендика

Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения:

• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$, то одноэлементное множество ${\displaystyle \{x\}}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$;
• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle y}$ — подмножество в ${\displaystyle x}$, то ${\displaystyle y\in {\mathcal {U}}}$;
• если ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {U}}}$, то упорядоченная пара ${\displaystyle (x,y)}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$;
• если ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {U}}}$, то объединение ${\displaystyle x\cup y}$ и декартово произведение ${\displaystyle x\times y}$ принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$;
• если ${\displaystyle (x_{i},i\in I)}$ — семейство элементов ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle I\in {\mathcal {U}}}$, то ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}}$;
• если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$, то ${\displaystyle card(x)<card({\mathcal {U}})}$ (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).

В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах:

• Для любого множества ${\displaystyle x}$ существует универсум ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ такой, что ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$.

Пусть выбран некоторый универсум Гротендика ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

• Множество ${\displaystyle x}$ называется ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малым, если ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$;
• Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малой, если множества её объектов и морфизмов являются ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малыми;
• Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется локально ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малой, если все её hom-множества являются ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малыми.

В частности, категория ${\displaystyle {\mathcal {U}}-\mathbf {Set} }$ всех ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малых множеств не является ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малой, но является локально ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-малой.