Трапецеидальный синус

Трапецеидальный синус — кусочно-гладкая функция действительной переменной с периодом $2\pi$ . Она находит широкое применение, например, в электро- и радиотехнике. На замкнутом интервале $[0;2\pi ]$ трапецеидальный синус задаётся следующими формулами:

Трапецеидальный и тригонометрический синусы

$\sin _{tr}x={\frac {4x}{\pi }},\quad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{4}}$ ;

$\sin _{tr}x=1,\quad {\frac {\pi }{4}}\leq x\leq {\frac {3\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x={\frac {4(\pi -x)}{\pi }},\quad {\frac {3\pi }{4}}\leq x\leq {\frac {5\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x=-1,\quad {\frac {5\pi }{4}}\leq x\leq {\frac {7\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x={\frac {4(x-2\pi )}{\pi }},\quad {\frac {7\pi }{4}}\leq x\leq 2\pi$

Разложение в ряд Фурье

Как и любая кусочно-гладкая периодическая функция действительного аргумента, трапецеидальный синус может быть разложен в ряд Фурье. Из-за нечётности трапецеидального синуса его разложение в тригонометрический ряд Фурье не содержит членов с косинусом.

Кроме того, трапецеидальный синус не содержит в своём разложении чётных гармоник. Первые несколько коэффициентов разложения имеют вид:

$b_{1}={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi ^{2}}},b_{3}={\frac {8{\sqrt {2}}}{9\pi ^{2}}},b_{5}=-{\frac {8{\sqrt {2}}}{25\pi ^{2}}},b_{7}=-{\frac {8{\sqrt {2}}}{49\pi ^{2}}}$

Сходимость разложения трапецеидального синуса в ряд Фурье иллюстрируется графиком:

Применение

Трапецеидальный синус широко применяется в электротехнике, поскольку переменный ток такой формы достаточно просто получить из постоянного тока при большой мощности нагрузки^{[уточнить]}. В частности, в современных ИБП и инверторах выходное напряжение чаще всего имеет форму трапецеидального синуса.[1] Также трапецеидальный синус применяется для анализа некоторых задач теории колебаний, где использование обычного (тригонометрического) синуса приводит к сильному усложнению конечных результатов. [2]

Ссылки

http://www.web-logic.ru/eli-ms.htm Архивная копия от 13 ноября 2009 на Wayback Machine Трансформаторы — виды и различия
Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984 г.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ttp://www.web-logic.ru/eli-ms.htm Архивная копия от 13 ноября 2009 на Wayback Machine Трансформаторы — виды и различия

[2] Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984 г.