Точка Аполлония

Точка Аполлония Ap — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей с описанной вокруг них. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Не следует путать с Точки Аполлония.

Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония Ap[1][2].

  • Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
  • В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония
Точка Аполлония и окружность Аполлония
  • Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[3].
  • Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность E, касающаяся трех данных окружностей EA, EB и EC внешним образом.

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.[4]

Определение точки Аполлония Ap

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

  • Ее трилинейные координаты:

Замечание

На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей EA, EB и EC. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

Свойство

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:

См. также

Примечания
  1. Kimberling, Clark Apollonius Point. Дата обращения: 16 мая 2012.
  2. C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problem 1091 and Solution (англ.) // Crux Mathematicorum : journal. — 1987. — Vol. 13. — P. 217—218.
  3. Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175—182.
  4. Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187—195..
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.