Тест Шура

Пусть ${\displaystyle S,\,T}$ это два измеримых множества (например ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), пусть ${\displaystyle U}$ это интегральный оператор:

${\displaystyle (Uf)(s)=\int _{T}K(s,t)f(t)\,dt}$ с ядром ${\displaystyle K(s,t):S\times T\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )}$.

Если найдутся функции ${\displaystyle \phi :S\to \mathbb {R} >0}$ и ${\displaystyle \psi :T\to \mathbb {R} >0}$ и числа ${\displaystyle A,B>0}$ такие что:

${\displaystyle (1)\qquad \int _{S}|K(s,t)|\phi (s)\,ds\leq A\psi (t)}$

для почти всех ${\displaystyle t\in T}$ и

${\displaystyle (2)\qquad \int _{T}|K(s,t)|\psi (t)\,dt\leq B\phi (s)}$

для почти всех ${\displaystyle s\in S}$,

Тогда ${\displaystyle U}$ непрерывный оператор действующий ${\displaystyle U:L^{2}\to L^{2}}$ с нормой: ${\displaystyle \Vert U\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {AB}}.}$

(Функции ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \psi }$ называют функциями теста Шура)

${\displaystyle |(Uf)(s)|={\biggl |}\int _{T}|K(s,t)|\cdot f(t)dt{\biggr |}\leq \int _{T}{\sqrt {|K(s,t)|\cdot \psi (t)}}\cdot {\sqrt {|K(s,t)|\cdot f^{2}(t){\frac {1}{\psi (t)}}}}\cdot dt\leq }$
по неравенству Шварца:
${\displaystyle \leq {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot \psi (t)\cdot dt}}\cdot {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dt}}}$
возведем в квадрат и проинтегрируем по ${\displaystyle S}$:
${\displaystyle \int _{S}|(Uf)(s)|^{2}\cdot ds\leq B\int _{S}\phi (s)\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dtds=}$
далее по теореме Фубини:
${\displaystyle =B\int _{T}{\frac {|f(t)|^{2}}{\psi (t)}}\int _{S}|K(s,t)|\cdot \phi (s)\cdot dsdt\leq AB\int _{T}|f(t)|^{2}\cdot dt}$
следовательно извлекая корень:
${\displaystyle ||U(f)||_{2}\leq {\sqrt {AB}}\cdot ||f||_{2}}$

• Непрерывный оператор
• Шур, Исай