Тест Дики — Фуллера

Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как ${\displaystyle y_{t}\thicksim I(1)}$ если ряд первых разностей ${\displaystyle \triangle y_{t}=y_{t}-y_{t-1}}$ является стационарным ${\displaystyle \triangle y_{t}\thicksim I(0)}$.

При помощи этого теста проверяют значение коэффициента ${\displaystyle a}$ в авторегрессионном уравнении первого порядка AR(1)

${\displaystyle y_{t}=a\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t},}$

где ${\displaystyle y_{t}}$ — временной ряд, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — ошибка.

Если ${\displaystyle a=1}$, то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд ${\displaystyle y_{t}}$ не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — ${\displaystyle I(1)}$. Если ${\displaystyle |a|<1}$, то ряд стационарный — ${\displaystyle I(0)}$.

Для финансово-экономических процессов значение ${\displaystyle |a|>1}$ не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:[3]

${\displaystyle \triangle y_{t}=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t},}$

где ${\displaystyle b=a-1}$, а ${\displaystyle \triangle }$ — оператор разности первого порядка ${\displaystyle \triangle y_{t}=y_{t}-y_{t-1}}$.

Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента ${\displaystyle b}$. Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент ${\displaystyle b}$ меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная ${\displaystyle t}$-статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения ${\displaystyle t}$-статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.

Существует три версии теста (тестовых регрессий):

1. Без константы и тренда

${\displaystyle \triangle y_{t}=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

1. С константой, но без тренда:

${\displaystyle \triangle y_{t}=b_{0}+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

1. С константой и линейным трендом:

${\displaystyle \triangle y_{t}=b_{0}+b_{1}\cdot t+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.

Критические значения статистики Дики — Фуллера

Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости

Размер выборки	AR-модель	AR-модель с константой	AR-модель с константой и трендом
25	-2,66	-3,75	-4,38
50	-2,62	-3,58	-4,15
100	-2,60	-3,51	-4,04
${\displaystyle \infty }$	-2,58	-3,43	-3,96

Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.

Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).

Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}.}$

Данную модель можно представить в виде:

${\displaystyle \triangle y_{t}=(a_{1}+a_{2}-1)y_{t-1}-a_{2}\triangle y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку ${\displaystyle y_{t-1}}$ по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что ${\displaystyle a_{1}+a_{2}-1=0}$. Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при ${\displaystyle y_{t-1}}$, причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.

Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.

Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.

• Тест Филипса — Перрона
• Тест Лейбурна

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0..