Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного $F(z)$ , регулярная в некоторой бесконечной области $D$ и непрерывная в ${\overline {D}}$ , а также ограниченная на границе $\partial D$ области $D$ , или ограничена всюду в ${\overline {D}}$ или внутри $D$ достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область $D$ .

Теорема Фрагмена — Линделёфа о верхней полуплоскости

Пусть функция $F(z)$ регулярна в полуплоскости $Rez>0$ и непрерывна в полуплоскости $Rez\geqslant 0$ , причём $\mid F(iy)\mid <C_{0}$ , $-\infty <y<\infty$ . Тогда или $\mid F(z)\mid <C_{0}$ при всех $z$ , $Rez\geqslant 0$ или функция $F(z)$ имеет в полуплоскости $Rez\geqslant 0$ порядок $\rho$ , не меньший единицы.

Пояснения

Число $\rho$ называется порядком целой функции $F(z)$ , если $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r}}$ . Иначе говоря, целая функция имеет порядок $\rho$ , если для любого $\epsilon >0$ существует константа $C_{\epsilon }$ и последовательность возрастающих к $\infty$ положительных чисел $r_{k}$ , такие, что

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon })

,

$r>0$ ,

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^{\rho +\epsilon })

,

$k=1,2,$ .

Доказательство

Доказательство есть в книге [1].

Примечания

Методы интерполяции функций и некоторые их применения, 1971, с. 37.

Литература

Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. — М.: Наука, 1971. — 518 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_6de3554ae3b26a7b-1] Методы интерполяции функций и некоторые их применения, 1971, с. 37.