Теорема сравнения Берже — Каждана

Теорема сравнения Берже — Каждана — результат в римановой геометрии. Теорема дает точную нижнюю оценку на объём риманова многообразия, в терминах радиуса инъективности, при этом в случае равенства многообразие изометрично стандартной сфере.

Формулировка

Пусть (M,g) — компактное m-мерное риманово многообразие с радиусом инъективности хотя бы $\pi$ . Тогда объём (M,g) не меньше объёма единичной m-мерной сферы $\mathbb {S} ^{m}$ . Более того, в случае равенства, (M,g) изометрично $\mathbb {S} ^{m}$ .

Berger, Marcel; Kazdan, Jerry L. A Sturm–Liouville inequality with applications to an isoperimetric inequality for volume in terms of injectivity radius, and to Wiedersehen manifolds // Proceedings of Second International Conference on General Inequalities, 1978 (англ.). — Birkhauser, 1980. — P. 367—377.
Kodani, Shigeru. An Estimate on the Volume of Metric Balls (неопр.) // Kodai Mathematical Journal. — 1988. — Т. 11, № 2. — С. 300—305. — doi:10.2996/kmj/1138038881.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.