Теорема о трёх перпендикулярах

Пусть ${\displaystyle AB}$ — перпендикуляр к плоскости ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle AC}$ — наклонная и ${\displaystyle c}$ — прямая в плоскости ${\displaystyle \alpha }$, проходящая через точку ${\displaystyle C}$ и перпендикулярная проекции ${\displaystyle BC}$. Проведём прямую ${\displaystyle CK}$ параллельно прямой ${\displaystyle AB}$. Прямая ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle \alpha }$ (так как она параллельна ${\displaystyle AB}$), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c}$. Проведём через параллельные прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CK}$ плоскость ${\displaystyle \beta }$ (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая ${\displaystyle c}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ${\displaystyle \beta }$, это ${\displaystyle BC}$ по условию и ${\displaystyle CK}$ по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой ${\displaystyle AC}$.

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.