Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники

Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади[1].

Разбиение квадрата на 6 равновеликих треугольников.

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.

История

Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году[2].

О доказательстве

Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

  1. Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
    • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
  2. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.

Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.

Вариации и обобщения
  • -мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно [3][4].
  • Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
  • Для целого числа , правильный -угольник допускает разрезание на равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда делится на [5].
  • Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы[6][7].

Примечания
  1. Martin Aigner, Günter M. Ziegler. One square and an odd number of triangles // Proofs from The Book. — 4th. — Berlin, 2010. — С. 131–138. — ISBN 978-3-642-00856-6. — doi:10.1007/978-3-642-00856-6_20.
  2. P. Monsky. On Dividing a Square into Triangles (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1970. — Vol. 77, no. 2. — P. 161—164. — doi:10.2307/2317329. MR: 0252233.
  3. Mead, David G. (September 1979), Dissection of the hypercube into simplexes, Proceedings of the American Mathematical Society Т. 76: 302–304, DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6
  4. Sperner’s Lemma, Moor Xu
  5. E. A. Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volume 4, Issue 4, pp 375—381
  6. Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift Т. 205 (4): 583–592, DOI 10.1007/BF02571264
  7. Стейн, Шерман & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282

Литература
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.