Теорема монотонности Александрова

Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Функция ${\displaystyle f(Q)}$ называется монотонной функцией многоугольника ${\displaystyle Q}$, если она обладает свойством: ${\displaystyle f(Q_{1})>f(Q_{2})}$, если ${\displaystyle Q_{2}}$ можно поместить внутри ${\displaystyle Q_{1}}$.

Пусть ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями ${\displaystyle Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}}$ и ${\displaystyle Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}}$ соответственно, причём для любого ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ выполнены условия: (i) единичные нормали к граням ${\displaystyle Q_{1}^{k}}$ и ${\displaystyle Q_{2}^{k}}$ совпадают и (ii) существует монотонная функция ${\displaystyle f_{k}}$ такая, что ${\displaystyle f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})}$. Тогда многогранники ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).