Теорема Харди — Рамануджана

Пусть действительная функция ${\displaystyle f(n)}$ такова, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(n)=\infty }$, и пусть ${\displaystyle g(x)}$ — число натуральных чисел ${\displaystyle n<x}$, для которых выполнено следующее неравенство

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))}}}$

или более традиционно

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$ , где ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Тогда

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1}$

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа ${\displaystyle n}$.

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными ${\displaystyle \log(\log(n))}$. Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.