Теорема Фока — Крылова

Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом:

${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \exp(-{\frac {i}{\hbar }}Et)dW(E)\right|^{2}}$

где

${\displaystyle dW(E)=w(E)dE}$ — спектр энергии начального состояния.

Пусть система описывается оператором ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

для дискретного спектра:

${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x)}$

для сплошного спектра:

${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x)}$

Пусть в момент времени ${\displaystyle t=0}$ система находится в состоянии ${\displaystyle \psi (x,0)}$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии ${\displaystyle \psi (x,t)}$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шредингера:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\bar {H}}(x)\psi (x,t)}$

Решение этого уравнения имеет вид:

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}C_{n}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t\right)\psi _{n}(x)+\int C(E)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (E,x)dE}$

Коэффициенты ${\displaystyle C_{n}}$ и ${\displaystyle C(E)}$ определяются начальными условиями:

${\displaystyle C_{n}=\int \psi _{n}^{*}(x)\psi (0,x)dx,\qquad C(E)=\int \psi ^{*}(E,x)\psi (0,x)dE}$

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \psi ^{*}(x,0)\psi (x,t)dx\right|^{2}=\left|\int \exp(-{\frac {i}{\hbar }}Et)w(E)dE\right|^{2}}$

где ${\displaystyle w(E)=\sum _{n}|C_{n}|^{2}\!\delta (E-E_{n})+|C(E)|^{2}}$ — спектр начального состояния.

• В. Фок. Начала квантовой механики. — Л. — С. 374. (недоступная ссылка)