Теорема Пестова — Ионина
Теорема Пестова — Ионина — классическая теорема дифференциальной геометрии плоских кривых, обобщение теоремы о четырёх вершинах.
Теорема сформулирована Абрамом Ильичом Фетом, доказана Германом Гавриловичем Пестовым, его доказательтво существенно упрощено Владимиром Кузьмичём Иониным[1]. Для выпуклых кривых результат был известен существенно раньше.[2]
Формулировка
Любая область плоскости, ограниченная гладкой замкнутой кривой с кривизной не более 1, содержит круг радиуса 1.
Четыре соприкасающиеся окружности лежащие по одну сторону от данной замкнутой кривой.
Вариации и обобщения
- Из доказательства Пестова и Ионина следует более сильное утверждение: для любой простой гладкой замкнутой регулярной кривой на плоскости существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится в замкнутой области внутри кривой; также существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится во внешней замкнутой области кривой.
- Точки в которых соприкасающаяся окружность лежит по одну сторону от кривой являются вершинами кривой, а значит приведённое утверждение является усилением теоремы о четырёх вершинах.
- Аналогичный результат в пространстве не верен, а именно существуют вложения сферы с главными кривизнами, не превосходящими 1 по абсолютной величине, такие, что ограниченная ею область не содержит шара радиуса 1. [3]
Примечания
- Пестов, Г. Г., Ионин В. К. О наибольшем круге, вложенном в замкнутую кривую // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 127, № 6.
- Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel, Leipzig, Veit 1916, 3. Auflage, Berlin, de Gruyter 1956; русский перевод Круг и шар, М.: Наука, 1967, глава IV §24.
- В. Н. Лагунов. «О наибольшем шаре, вложенном в замкнутую поверхность, II». Сибирский математический журнал 2.6 (1961), с. 874—883.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.