Теорема Пенлеве

Уравнения первого порядка ${\displaystyle P(w^{'},w,z)=0}$, алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть ${\displaystyle P}$ — многочлен относительно ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle w^{'}}$ и аналитическая функция от ${\displaystyle z}$), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного[3]. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу [4]. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки[4]. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой [5].

Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге [6].

• Уравнение Брио и Буке
• Подвижная особенность

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматлит, 1958. — 678 с.