Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция комплексного переменного в области непрерывна, и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру равен нулю, то есть

то  — аналитическая функция в .

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области .

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в , т. е. существует такая функция , что

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность аналитичных функций равномерно сходится к функции , то

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

и гамма-функции Эйлера

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой в 1886 году.

Литература

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 с.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.