Теорема Лагранжа (теория чисел)

В теории чисел теорема Лагранжа — это утверждение, названное в честь Жозефа-Луи Лагранжа, о том, при каких условиях значение многочлена с целочисленными коэффициентами может быть кратным фиксированному простому числу.

Формулировка

Если простое число, — многочлен степени с целочисленными коэффициентами, то[1]:

  • либо все коэффициенты кратны
  • либо сравнение имеет не более решений.

Замечания

  • Если все коэффициенты кратны то любое значение является решением приведённого сравнения.
  • Простота модуля существенна, для составного модуля теорема, вообще говоря, неверна. Например, сравнение: имеет 4 решения[2]:

Доказательство теоремы Лагранжа

Пусть — многочлен над кольцом , полученный из заменой каждого коэффициента соответствующим классом вычетов по модулю

Лемма 1. делится на тогда и только тогда, когда Доказательство. Если делится на то и , по построению, попадает в тот же класс вычетов, что и то есть в нулевой класс. И обратно, если то вычисление даёт результат из класса вычетов, содержащего то есть делится на

Лемма 2. У многочлена если он не нулевой многочлен, не может быть более корней. Доказательство. Поскольку — простое число, является полем, а ненулевой многочлен степени в любом поле имеет не более корней, потому что каждый корень добавляет в разложение многочлена одночлен

Доказательство теоремы. Если — нулевой многочлен, то это, согласно его построению, означает, что все коэффициенты кратны В противном случае из первой леммы следует, что число несравнимых по модулю решений уравнения совпадает с число корней многочлена которое, по второй лемме, не превышает

Вариации и обобщения

Теорема Лагранжа справедлива не только для многочленов над кольцом целых чисел но для многочленов над любой другой областью целостности[3].

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.