Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция $f(z)$ аналитична в точке $z_{0}$ и $f'(z_{0})\neq 0$ . Тогда в некоторой окрестности точки $w_{0}=f(z_{0})$ обратная к ней функция $f^{-1}(w)$ представима рядом вида

f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции $f(z)$ по степеням другой голоморфной функции $w(z)$ и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть $f(z)$ и $w(z)$ голоморфны в окрестности некоторой точки $a\in \mathbb {C}$ , притом $w(a)=0$ и $a$ — простой нуль функции $w(z)$ . Теперь выберем некую область $D\ni a$ , в которой $f$ и $w$ голоморфны, а $w$ однолистна в ${\overline {D}}$ . Тогда имеет место разложение вида:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),

где коэффициенты $d_{n}$ вычисляются по следующему выражению:

d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида $w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$ . Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда $z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$ :

b_{n}={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида $F\circ f^{-1}$ справедливо представление в виде ряда

F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Bürmann-Lagrange series (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.