Теорема Кэли (теория групп)

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа порядка ${\displaystyle n}$. Нужно построить изоморфизм с ${\displaystyle G}$ в подгруппу перестановок ${\displaystyle S_{n}}$. Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow S_{G}}$, где ${\displaystyle S_{G}}$ является собранием перестановок G. Группу ${\displaystyle \varphi (g):G\rightarrow G}$ определяем с помощью умножения слева ${\displaystyle (\varphi (g))(x)=gx}$.

Докажем, что мы получили перестановку. Если ${\displaystyle gx=gy}$, то ${\displaystyle x=y}$, так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует ${\displaystyle g^{-1}}$). Кроме того, действие ${\displaystyle \varphi (gh)}$ на элемент группы x равняется ${\displaystyle \ (\varphi (gh))(x)=(gh)x}$ и это равняется ${\displaystyle \varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)}$ в виду ассоциативности G. Наконец, если ${\displaystyle \varphi (g)=\varphi (h)}$ то тогда ${\displaystyle g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h}$ и поэтому ${\displaystyle \varphi }$ является инъективной (1-1).

Рассмотрим группу ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$ с заданной операцией ${\displaystyle +.}$ Найдём её отображение в ${\displaystyle S_{4},}$ то есть найдём подгруппу ${\displaystyle S_{4},}$ изоморфную ${\displaystyle G.}$

Определим отображение ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}}

${\displaystyle \varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}}$

В данном построении перестановка ${\displaystyle \varphi (n)}$ для каждого ${\displaystyle n}$ задаёт «таблицу сложения» с числом ${\displaystyle n}$. Для примера, число 2 в ${\displaystyle \varphi (1)}$ переходит на сумму (операцию группы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, ${\displaystyle \varphi (0)}$ задаёт тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}(g)=g}$.

Отображение ${\displaystyle \varphi }$ является гомоморфизмом. К примеру, ${\displaystyle \varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)}$. Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Александров П. С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.