Теорема Куранта — Фишера

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе[1].

Формулировка

 — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,
 — единичная сфера,
 — ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора ,
 — -ое собственное значение оператора и
 — -мерное подпространство .

Доказательство

,
 — -мерное подпространство ,
 — линейная оболочка векторов .
.
Откуда следует, что . Пусть и .
Так как то .
С другой стороны: так как то

Равенство достигается при .

Дополнительно

Очевидно, что .

Примечания

  1. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190

Литература

  1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
  2. Ланкстер. Теория Матриц
  3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
  4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.